Cada vez que vuelo soy más joven que tu en la tierra :)

Todos hemos oído hablar de la relatividad y siempre nos ha parecido algo muy difícil de comprender, quizás porque no entra dentro de nuestra experiencia diaria. Sobre esto me hace mucha gracia la historia que se cuenta sobre el gran Charles Chaplin (Charlot) y Albert Einstein. Probablemente no es real, pero si muy ilustrativa. Se dice que un día coincidieron los dos en una reunión y cuando les presentaron se dijeron algo así:

Albert: Estoy encantado de conocerle Sr Chaplin, es usted una celebridad. Me encanta su arte. Es universal, todo el mundo lo comprende y le admiran.

Chaplin: Bueno, creo que lo suyo es todavía mas impresionante, pues todos le admiran, pero solo unos pocos le comprenden.



Pero la relatividad del tiempo es muy real. Siempre que nos desplazamos muy rápido nuestro reloj tiende a atrasar. No importa lo bueno y preciso que pueda ser nuestro reloj suizo. Vamos a demostrar de forma muy sencilla y gráficamente que esto de que el tiempo es relativo ocurre realmente. Hoy solo vamos a ver que el tiempo transcurre mas despacio en un reloj en movimiento (relatividad especial), en otro post podremos dedicarle mas tiempo (es mas complicado) al efecto de la gravedad tiene el tiempo (relatividad general).

La cuestión es que: Cuanto mas rápidos nos movamos mas lento pasa el tiempo para un observador externo.

Lo primero que tenemos que hacer es construir un reloj muy preciso. Para ello necesitamos cualquier cosa que haga "tic tac", o en otras palabras, algo que vibre con una frecuencia constante. Podemos imaginar cualquier cosa, por lo tanto imaginemos que construimos un artefacto (reloj) como el que se muestra en la ilustración.

Lo llamaremos reloj de pulsos lumínicos, que queda muy bien. 

Nuestro reloj funciona de la siguiente manera: un fotón de luz sale de la placa base y rebota en en un espejo que tenemos en la parte superior (tic), el fotón rebotado en la parte superior llega a la parte de abajo (tac) y así continuamente. Al igual que en la ilustración podríamos incluso imprimir el tic, tac y veríamos que es un reloj de frecuencia constante y gran precisión.

En la ilustración que he hecho con rotulador a continuación se puede ver el tic tac. El foton sale de abajo donde tenemos un emisor de fotones y rebota en el espejo en el tiempo (t0/2) este es el tic. Cuando el foton viaja hacia abajo e impacta en el sensor de la parte inferior en (t0) se produce el tac. Para ello el foton de luz recorre la distancia (L) que separa los dos espejos dos veces, hacia arriba y de vuelta al emisor abajo.

Sabemos desde pequeños que la velocidad es igual al espacio partido por el tiempo V = L/T o si se quiere, velocidad por tiempo igual al espacio recorrido: V x T = L

Por tratarse de un foton (luz) vamos a cambiar la letra "V" de la velocidad y representarla con la letra "C", que es la nomenclatura de la velocidad de la luz. el tiempo lo llamaremos "t" sub cero (t0) para no confundirlo luego con "t" en el reloj que se mueve. De esta forma tenemos que

Hasta ahora parece lógico y es sencillo de entender.  Nuestro reloj esta estacionario y no ocurre nada que no sepamos. Pero, Que pasaría si nuestro reloj estacionario tuviera otro reloj igual que se moviera?

Vamos a verlo representando a un reloj en movimiento con velocidad "V" desde un punto de vista estacionario, en otras palabras, nosotros estamos quietos y es el reloj el que se desplaza:

Lo que ocurre en la ilustración es que el reloj se mueve hacia la derecha con velocidad "V" a la vez que se producen los tic tac del fotón yendo de arriba a bajo.

Como se puede apreciar, el fotón sale de abajo y cuando llega al espejo superior desde nuestro punto de vista el reloj ya se ha desplazado (VT/2). Nos vamos a quedar ahí, en el "tic". No necesitamos el "tac" para la demostración.

lo que tenemos es lo que se ve en el siguiente apunte:

El fotón recorre una distancia ct/2, mientras que la distancia entre placas sigue siendo la misma. Todo el conjunto se desplaza delante de nosotros con velocidad v recorriendo una distancia vt/2

 Tenemos pues un triangulo rectángulo en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras. 

La hipotenusa al cuadrado es igual ala suma de los cuadrados de los catetos, tal cual se muestra a continuación. 

Resolviendo para despejar "t" al cuadrado tenemos:

Y si queremos quitar el cuadrado nos queda:

pero sabiendo que (como hemos visto al principio) 

 

por lo cual podemos sustituirlo en la ecuación de esta forma

...y hasta aquí es la demostración. Todo bien, pero lo mas importante viene a continuación.

Cuales son las implicaciones de esta formula? 

Vamos a echar un vistazo a esta formula. Si las matemáticas no mienten (no lo han hecho hasta ahora) vemos que en un lado de la ecuación tenemos el tiempo del reloj en reposo (t) y en el otro lado en el numerador tenemos el tiempo del reloj en movimiento (t sub cero).

Esto quiere decir que el tiempo en ambos relojes sera el mismo siempre y cuando V = 0 (los dos parados), t = t0 pues el denominador en la ecuación sería 1.

Pero si empezamos a mover deprisa nuestro reloj dejando el otro quieto entonces V crecería en el denominador y t variará al alza en el otro lado de la ecuación, es decir que los tiempos son distintos en movimiento. Cuanto mas deprisa vayamos mas diferencia entre los relojes. 

Como nos afecta cuando viajamos en avion?

¡Ánimo! Podéis hacer los cálculos poniendo que el avión vuele a 1000 km/h. y que la velocidad de la luz la redondeamos a 300.000 km/segundo. Os daría un resultado casi inapreciable, estamos hablando del orden de diezmillonésimas de segundo. "Usease" na' de na'. No se nota.

¿¿¿...pero que ocurre si calculamos lo mismo con el reloj atómico que llevan los satélites del GPS (GNSS)?????

Una velocidad no muy alejada de la realidad para un satélite del GPS ronda los 14.000km/h. Así que por cada segundo vuestro en la tierra en el satélite transcurren  0,999999 segundos... y me diréis que es lo mismo, na' de na'. Eso es sólo un micro segundo o lo que es lo mismo un 10 elevado a -6 o si se quiere uno en un millón de partes. Imaginad un segundo dividido en un millón... Y se escoge una parte.

Pues aquí si que es vital esa pequeña diferencia porque con ella el sistema GPS calcula la distancia  con un mínimo de tres distancias (desde tres satélites) sabemos nuestra ubicación en la tierra. Pero el error de posición debido a esta pequeña diferencia ¡seria de 300 metros! La luz recorre 300 metros en un microsegundo.

 300 metros de error en la posición es mucho. ¡Todo debido a estos efectos relativistas!

Wow!

Estos efectos y otros muchos son corregidos a diario por las estaciones terrestres que se encargan de monitorizar la señal de la constelación. En la practica lo que se hace es reducir la frecuencia del reloj atómico abordo del satélite para ajustarla y compensarla con los efectos relativistas.

Ya sabéis, si un día tenéis una cita y llegáis tarde porque la dirección estaba mal indicada en vuestro GPS, podréis intentar explicar a vuestr@ chic@ que todo se debe a los efectos relativistas en el reloj atómico del GPS... ni con esas creo que os perdone.

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Actualización (08/04/2015) Una buena entrada de Carlos Rebato en GIZMODO: http://es.gizmodo.com/la-teoria-de-la-relatividad-especial-explicada-de-mane-1691315854