Las ecuaciones de Navier-Stokes para Dummies

Me pide un lector del Blog que hable sobre las ecuaciones de Navier-Stokes y que explique  su importancia. Aunque es un tema complicado y requiere tener una buena preparación ingenieril para poder entender bien las ecuaciones y manipularlas, eso no quiere decir que no se pueda hablar sobre ellas desde un punto de vista general en el contexto de la aviación. Voy a intentar simplificarlo y dar una idea de lo que son, lo que significan y para qué sirven. En la foto que abre el post se puede ver al ex-presidente Obama en el MIT sosteniendo una camiseta con esta ecuación  donde dice: "...y entonces Moisés dijo (la fórmula), y las aguas se separaron". El ex-presidente parece reír divertido intentando dar a entender que ha pillado la ironía de esta fórmula que predice el flujo de los fluidos.

Decía Lord kelvin que no podemos asegurar que sabemos algo sobre cualquier fenómeno hasta que no seamos capaces de poder expresarlo con números. La expresión numérica de un fenómeno físico, sobre todo si este es complicado, es un gran logro del intelecto humano. Lo que muchas veces parece increíble (al menos para mi), es que seamos realmente capaces de poder expresar y predecir con precisión cualquier fenómeno con las matemáticas. ¿Es el Universo realmente matemático? ¿Son las matemáticas atemporales, es decir ya existían antes del hombre y seguirán existiendo después de que desaparezcamos? ¿Cómo las hemos descubierto? Estas son algunas disquisiciones filosóficas con las que me encuentro por ejemplo al leer sobre las ecuaciones de Navier-Stokes. Vamos a empezar por el principio.

¿Qué es en realidad una ecuación?

Es una herramienta. Podemos entender una ecuación como una balanza. En su concepción más simplista, esta es la analogía que mejor puede describir lo que representa esta expresión matemática. El símbolo igual sería el punto donde pivotan los platillos y estos últimos son las expresiones algebraicas en equilibrio. Desde este punto de vista, lo que decimos es simplemente que algo a un lado equivale a algo en el otro. Los datos incluidos en una ecuación pueden ser números, constantes, coeficientes o variables. Las incógnitas, por su parte, son las cosas que no se saben y están representadas por las letras que sustituyen el valor que se intenta hallar. El sistema está en equilibrio. Para resolver una ecuación está permitido operar y modificar cualquier parte de la expresión, pero al igual que con la balanza, lo que hagamos en un lado debemos también de compensarlo en el otro lado para que el fiel de la balanza no se desequilibre. Algunas ecuaciones, como estas de las que hablamos son muy difíciles de resolver. Otras son incluso irresolubles.

Una de las más conocidas es E=mc^2. Los científicos se permiten interpretarla de muchas maneras. Una de estas interpretaciones incluso considera a C (la velocidad de la luz) como un valor unitario. Es lo que suelen hacer los "chiflados de la física cuántica" que aceleran partículas en el LHC hasta velocidades del 99,99% al de la luz. En este contexto por ejemplo, podemos decir que las partículas son masa o energía, tanto da que da lo mismo. Manipular una ecuación compleja no es sencillo y por ello nos maravilla ver como lo hacen los expertos.  Se cuenta aquello del encuentro de Chaplin con Alberto Einstein en el que el el físico le dice al genial cómico: "Su arte es universal, todo el mundo lo comprende, es algo admirable", a lo que Chaplin responde "más admirable es lo suyo, porque solo unos pocos lo entienden pero todo el mundo le admira".

¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?

Un experto nos diría con aire pomposo: "Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden, sus soluciones son varias en relación a una gran variedad de problemas que implican fluidos viscosos". Al no ser expertos, con esta información podemos ir a Internet para desmenuzar palabra por palabra lo que nos quieren decir, pero al final nos quedaremos igual que estábamos.

¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes en plan sencillo?

Las ecuaciones llamadas de Navier-Stokes fueron publicadas en 1882. Estas expresiones describen el movimiento tridimensional de los fluidos, concretamente de un tipo de fluidos llamados Newtonianos (fluidos con viscosidad constante).  Gracias a ellas se puede estudiar el flujo de fluidos como el aire alrededor de vehículos, aviones o proyectiles entre muchas otras cosas. Estas ecuaciones llevan el nombre de Claude-Louis Navier (1785-1836) y George Gabriel Stokes (1819-1903). En situaciones en las que no hay fuertes gradientes de temperatura en el fluido, estas ecuaciones proporcionan una muy buena aproximación de la realidad sin tener que acudir a las costosas pruebas en los túneles aerodinámicos.

¿Qué aspecto tienen?

Este es un punto delicado, pues para los que somos legos en la materia tienen un aspecto muuuu raro. Se suele decir entre los divulgadores científicos, que por muy tentados que estemos, nunca se debe de enseñar una ecuación rara al público que asiste a nuestra charla informal. El hacerlo significa irremediablemente perder a la audiencia porque se espantan. Sin embargo, aun a riesgo de perder en este punto a los lectores voy a poner debajo esta ecuación, pero simplemente para ver que una vez explicada no dista tanto tanto de alguna de las ecuaciones que casi todo el mundo conoce. Para hincarle el diente a estas ecuaciones hay tres cosas fundamentales que debemos saber sobre física:

1. Ecuación de continuidad: la masa no puede ser creada ni destruida.
2. La segunda ley de Newton: F = ma, también conocida como la segunda ley de Newton.
3. Conservación de la energía: la energía no se puede crear ni destruir.

Lo que hace que los fluidos sean complicados es la interacción entre las capas. En las ecuaciones de Navier-Stokes modificamos el conceptos de impulso. Esta versión modificada debe al menos tener en cuenta:

1. Fuerzas entre las capas de fluidos: Presión, Viscosidad.
2. La energía y su transferencia: Térmica, potencial, cinética.

Estas ecuaciones en realidad son una variación de la segunda ley de movimiento de Newton pero modificada para los fluidos (por eso mismo los legos no las reconocemos). La segunda Ley establece que la masa multiplicada por la aceleración de las partículas del fluido es proporcional a las fuerzas que actúan sobre ellas.

Existen varias ecuaciones. Los entendidos dicen que las ecuaciones de Navier-Stokes consisten en una ecuación de continuidad dependiente del tiempo para la conservación de la masa, tres ecuaciones de conservación de momento dependientes del tiempo y una ecuación de conservación de la energía dependiente del tiempo. Hay cuatro variables independientes en el problema, las coordenadas espaciales x, y, z del dominio que se considere, y el tiempo t. A continuación se pueden ver estas ecuaciones con su explicación:

En mecánica de fluidos, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. En nuestro contexto se expresa de esta manera:

La siguiente es la ecuación donde podemos ver todos los términos. La parte izquierda es la aceleración de una región pequeña de un fluido. La parte derecha son las fuerzas que actúan en ella: presión, tensión y las fuerzas internas de los cuerpos.

¿Por qué son importantes?

Estas ecuaciones proporciona un modo muy preciso de calcular cómo se mueven los fluidos. Una característica clave en innumerables problemas científicos y tecnológicos. Se pueden usar para predecir el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en una tubería o en un reactor, el estudio del flujo sanguíneo y muchas otras cosas como el diseño de submarinos. En nuestro contexto, las ecuaciones de Navier-Stokes se aplican a la aerodinámica. Ayudan en el diseño de aviones y automóviles, el flujo de aire alrededor de un perfil aerodinámico, etc. Al ser tan precisas se pueden emplear para predecir el comportamiento de los elementos sumergidos en un fluido como el aire sin tener que recurrir a las costosas pruebas de los túneles aerodinámicos.

¿Qué impacto tuvieron en la aerodinámica?

Entre otras cosas que la Fórmula 1 sea más espectacular con velocidades de paso por curva cada vez mayores. También que los aviones de pasajeros modernos sean más eficientes y más silenciosos. Gracias a esta ecuaciones se han desarrollado los métodos computacionales, conocidos como mecánica de fluidos computacional o CFD (por su nombre en inglés computational fluid dynamics). Estos métodos son los que utilizan los ingenieros para mejorar la tecnología aerodinámica. En los inicios del diseño de aviones, los pioneros fabricaron sus aeroplanos usando cálculos aproximados, intuición física y ensayo-error. Diseñar las cosas a ojo dejó de ser válido hace ya mucho tiempo.

¿Cómo se llegó a ellas?

Podríamos decir que los predecesores de esta disciplina llamada aerodinámica fueron Arquímedes, quien estudió la estabilidad de cuerpos flotantes hace más de 2.200 años y Daniel Bernoulli, que en 1783 publicó Hydrodynamica (Hidrodinámica), que contenía el principio de que los fluidos fluyen más rápido en regiones donde la presión es más baja. El pionero en la mecánica de fluidos fue el célebre matemático Leonhard Euler, que murió en el año que los Montgolfier hicieron su primer vuelo en globo. Publicó su famosa fórmula sobre fluidos en «Principes généraux du mouvement des fluides» (Principios generales del movimiento de fluidos) en las Memorias de la Academia de Berlín. Euler hizo varias suposiciones en su fórmula para poder aplicarla al aire además de al agua. La soluciones que se encontraron con su fórmula resultaron válidas para un nivel de exigencia laxo en aerodinámica.

Después de que se asentara la revolución industrial, los matemáticos del siglo XIX se interesaron por los movimientos del agua y los fluidos en general. Dos científicos presentaron una ecuación más realista que la de Euler. Claude-Louis Navier era un físico e ingeniero francés; George Gabriel Stokes era un físico y matemático irlandés. Navier obtuvo un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para el flujo de un fluido viscoso en 1822; Stokes empezó a publicar sobre el tema veinte años más tarde. El modelo resultante del flujo de fluidos es ahora conocido como ecuación de Navier-Stokes (con frecuencia se usa el plural porque la ecuación se plantea en términos de un vector, de modo que tiene varias componentes). Modificando las ecuaciones de Euler, de modo que se apliquen a un fluido compresible, estos matemáticos iniciaron la ciencia de la aerodinámica.

¿Cuál fue la aportación de Navier y Stokes con respecto a Euler?

Hay dos modos de mirar la geometría de un fluido. Uno es seguir los movimientos de minúsculas partículas individuales de un fluido y ver adónde van. El otro es centrarse en las velocidades de dichas partículas; cómo de rápido, y en qué dirección, se están moviendo en cada instante. Los dos están muy relacionados, pero la relación es difícil de esclarecer excepto en aproximaciones numéricas. Una de las agudezas de Euler, Navier y Stokes fue darse cuenta de que todo parece mucho más simple en términos de las velocidades. El flujo de un fluido se comprende mejor en términos de campo de velocidades: una descripción matemática de cómo la velocidad varía de un punto a otro en el espacio y de un instante a otro en el tiempo. De modo que Euler, Navier y Stokes escribieron ecuaciones describiendo el campo de velocidad. Con este sistema los patrones reales de flujo de un fluido pueden calcularse con mucha aproximación.

---------------------- link para el libro --------------------

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