Midiendo alturas con un barómetro

¿Cómo se mide la altura de un edificio con un barómetro? La respuesta es relativamente sencilla si se conoce el principio de operación por el cual funciona el barómetro. En realidad un altímetro es un barómetro calibrado en pies o en metros. La calibración de un altímetro se hace según la ecuación: 

donde c es una constante, T es la temperatura absoluta, P es la presión en altitud z, y Po es la presión a nivel del mar. La constante c depende de la aceleración de la gravedad y la masa molar del aire. La solución con el barómetro por lo tanto, es muy sencilla. Todo pasa por medir la presión en la parte de abajo del edificio y en la parte superior, siendo la altura la diferencia de las presiones divida por la densidad y por la gravedad. Los modernos relojes deportivos de pulsera que dicen llevar altímetro en realidad llevan un barómetro calibrado en metros o pies. Existe en Internet una historia (contada de muchas formas) que se da por cierta. Está relatada presuntamente por el insigne Sir Ernest Rutherford y se le atribuye a Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922. Se dice que cuando era niño, era muy listo (...y algo chulo). Aquí se reproduce exactamente como la encontré en Internet:

Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega. Estaba a punto de poner un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que éste afirmaba con rotundidad que su respuesta era absolutamente acertada.

Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo. Leí la pregunta del examen y decía: "Demuestre cómo es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro". El estudiante había respondido: "Lleva el barómetro a la azotea del edificio y átale una cuerda muy larga. Descuélgalo hasta la base del edificio, marca y mide. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio".

Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de sus de estudios, obtener una nota más alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.

Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta, pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física. Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunte si deseaba marcharse, pero me contesto que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excuse por interrumpirle y le rogué que continuara.

En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: "Coge el barómetro y lánzalo al suelo desde la azotea del edificio, calcula el tiempo de caída con un cronometro. Después se aplica la fórmula: altura = 0,5 por A por T2. Y así obtenemos la altura del edificio".

En este punto le pregunte a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dio la nota más alta. Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay muchas maneras, por ejemplo, coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio.

Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Sí, contestó; este es un procedimiento muy básico para medir un edificio, pero también sirve. En este método, coges el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura. Este es un método muy directo.

Por supuesto, si lo que quiere es un procedimiento más sofisticado, puede atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Si calculamos que cuando el barómetro está a la altura de la azotea la gravedad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla formula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio. En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su periodo de precesión. En fin, concluyó, existen otras muchas maneras. Probablemente, siguió, la mejor sea coger el barómetro y golpear con él la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo. En este momento de la conversación, le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares) Evidentemente, dijo que la conocía, pero que durante sus estudios sus profesores habían intentado enseñarle a pensar.

En realidad, la verdadera historia del barómetro fue inventada por Alexander Calandra, profesor de física muy reconocido, fallecido el 8 de marzo de 2006, a los 95 años. Trabajó gran parte de su vida en la Universidad de Washington en St. Louis, EE.UU. Calandra publicó esta anécdota en su libro “The Teaching of Elementary Science and Mathematics” Washington University Press, St. Louis, 1961. La anécdota se popularizó tras su aparición en el semanario “The Saturday Review” (p.60, Dec. 21, 1968), con el título “Angels on the Head of a Pin. A Modern Parable”. 

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